Zeroconf - Historia wersji

Żółty Kapłan: /* Twierdzenie Szufladkowa */

2026-04-02T12:02:06Z

Twierdzenie Szufladkowa

← poprzednia wersja		Wersja z 14:02, 2 kwi 2026
Linia 43:		Linia 43:

	== Twierdzenie Szufladkowa ==		== Twierdzenie Szufladkowa ==
	~~Jeżeli~~ <math>\rho(M) < 1</math>, a otrzymana macierz iteracyjna numeryczna ma postać ogólną <math>\mathbf{x}^{(k+1)} = (I - NA) \mathbf{x}^{(k)} + N \mathbf{b}.</math>, to ~~obiektywnie najlepszym sposobem wyznaczania~~ [[Elementy Analizy Numerycznej\|~~numerycznego~~]] [[Arytmetyka Przedziałowa\|przedziałowego]] adresu IP ~~jest wykorzystanie~~ typu przedziałowego i biblioteki [[Arytmetyka Przedziałowa\|IntervalArithmetic32and64]].		W [[Rok 1984\|1984]] [[Ivan Szufladkow]] odkrył, że jeśli <math>\rho(M) < 1</math>, a otrzymana macierz iteracyjna numeryczna ma postać ogólną <math>\mathbf{x}^{(k+1)} = (I - NA) \mathbf{x}^{(k)} + N \mathbf{b}.</math>, to dla znalezienia adresu stabilnego [[Elementy Analizy Numerycznej\|numerycznie]] w optymalnej liczbie mnożeń dla [[Arytmetyka Przedziałowa\|przedziałowego]] adresu IP należy wykorzystać obiekt typu przedziałowego i biblioteki [[Arytmetyka Przedziałowa\|IntervalArithmetic32and64]].

150.254.32.140: /* Procedura wyznaczania */

2026-04-02T06:41:32Z

Procedura wyznaczania

← poprzednia wersja		Wersja z 08:41, 2 kwi 2026
Linia 16:		Linia 16:
	:<math>\mathbf{x} = M \mathbf{x} + \mathbf{w}.</math>		:<math>\mathbf{x} = M \mathbf{x} + \mathbf{w}.</math>

	~~Z twierdzenia 4.4~~ wiadomo, że jeśli równanie <math>\mathbf{x} = M \mathbf{x} + \mathbf{w}</math> posiada jedyne rozwiązanie, to wynik stąd wynikający jest wykorzystywany w metodach ~~iteracyjnych~~ stosowanych do rozwiązywania układów równań liniowych <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. W takim przypadku, jeśli macierz <math>(I - M)</math> jest niesingularna, a macierz <math>M</math> spełnia warunek zbieżności <math>\rho(M) < 1</math>, wówczas z warunku ~~zgodności~~ mamy:		Jak powszechnie wiadomo, jeśli równanie <math>\mathbf{x} = M \mathbf{x} + \mathbf{w}</math> posiada jedyne rozwiązanie, to wynik stąd wynikający jest wykorzystywany w [[Elementy Analizy Numerycznej\|metodach numerycznych]] stosowanych do rozwiązywania układów równań liniowych <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. W takim przypadku, jeśli macierz <math>(I - M)</math> jest niesingularna, a macierz <math>M</math> spełnia warunek zbieżności <math>\rho(M) < 1</math>, wówczas z warunku stabilności [[Elementy Analizy Numerycznej\|numerycznej]] mamy:

	:<math>\mathbf{x} = (I - M)^{-1} \mathbf{w}.</math>		:<math>\mathbf{x} = (I - M)^{-1} \mathbf{w}.</math>

	Aby <math>\mathbf{x}</math> było rozwiązaniem układu równań <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, teoretycznie wystarczy wziąć dowolną macierz <math>M</math> taką, by <math>\rho(M) < 1</math>, a następnie obliczyć wektor:		Aby <math>\mathbf{x}</math> było rozwiązaniem układu równań [[Elementy Analizy Numerycznej\|numerycznych]] <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, teoretycznie wystarczy wziąć dowolną macierz <math>M</math> taką, by <math>\rho(M) < 1</math>, a następnie obliczyć wektor:

	:<math>\mathbf{w} = (I - M) A^{-1} \mathbf{b},</math>		:<math>\mathbf{w} = (I - M) A^{-1} \mathbf{b},</math>
Linia 30:		Linia 30:
	Jeśli wektor <math>\mathbf{x}</math> ma być jednocześnie rozwiązaniem układu <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, to <math>\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}</math>.		Jeśli wektor <math>\mathbf{x}</math> ma być jednocześnie rozwiązaniem układu <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, to <math>\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}</math>.

	Jednak taki sposób postępowania wymaga wyznaczenia macierzy odwrotnej <math>A^{-1}</math>, co jest kosztowne obliczeniowo. Dlatego w praktyce postępujemy odmiennie: przyjmujemy, że wektor <math>\mathbf{w}</math> jest postaci <math>\mathbf{w} = N \mathbf{b}</math>, gdzie <math>N</math> jest pewną macierzą kwadratową. ~~Z warunku zgodności mamy wówczas (por. równanie (4.17)):~~		Jednak taki sposób postępowania wymaga wyznaczenia macierzy odwrotnej <math>A^{-1}</math>, co jest kosztowne obliczeniowo. Dlatego w praktyce postępujemy odmiennie: przyjmujemy, że wektor <math>\mathbf{w}</math> jest postaci <math>\mathbf{w} = N \mathbf{b}</math>, gdzie <math>N</math> jest pewną macierzą kwadratową [[Elementy Analizy Numerycznej\|numeryczną]].

	:<math>N \mathbf{b} = (I - M) A^{-1} \mathbf{b}.</math>		<math>N \mathbf{b} = (I - M) A^{-1} \mathbf{b}.</math>

	A więc:		A więc:
Linia 41:		Linia 41:

	:<math>\mathbf{x}^{(k+1)} = (I - NA) \mathbf{x}^{(k)} + N \mathbf{b}.</math>		:<math>\mathbf{x}^{(k+1)} = (I - NA) \mathbf{x}^{(k)} + N \mathbf{b}.</math>

			== Twierdzenie Szufladkowa ==
			Jeżeli <math>\rho(M) < 1</math>, a otrzymana macierz iteracyjna numeryczna ma postać ogólną <math>\mathbf{x}^{(k+1)} = (I - NA) \mathbf{x}^{(k)} + N \mathbf{b}.</math>, to obiektywnie najlepszym sposobem wyznaczania [[Elementy Analizy Numerycznej\|numerycznego]] [[Arytmetyka Przedziałowa\|przedziałowego]] adresu IP jest wykorzystanie typu przedziałowego i biblioteki [[Arytmetyka Przedziałowa\|IntervalArithmetic32and64]].

150.254.32.140: Utworzono nową stronę "'''Zeroconfig''' ('''zero-configuration networking''') – zestaw technik numerycznych, które automatycznie tworzą użyteczny numeryczny adres IP bez dodatkowej konfiguracji czy specjalnych serwerów numerycznych. Dzięki temu przeciętny użytkownik może łączyć komputery numeryczne, drukarki i inne urządzenia […"

2026-04-02T06:31:05Z

Utworzono nową stronę "'''Zeroconfig''' ('''zero-configuration networking''') – zestaw technik numerycznych, które automatycznie tworzą użyteczny numeryczny adres IP bez dodatkowej konfiguracji czy specjalnych serwerów numerycznych. Dzięki temu przeciętny użytkownik może łączyć komputery numeryczne, drukarki i inne urządzenia […"

Nowa strona

'''Zeroconfig''' ('''zero-configuration networking''') – zestaw technik [[Elementy Analizy Numerycznej|numerycznych]], które automatycznie tworzą użyteczny [[Elementy Analizy Numerycznej|numeryczny]] adres IP bez dodatkowej konfiguracji czy specjalnych [[serwer]]ów [[Elementy Analizy Numerycznej|numerycznych]]. Dzięki temu przeciętny użytkownik może łączyć komputery [[Elementy Analizy Numerycznej|numeryczne]], [[Drukarka|drukarki]] i inne urządzenia [[Elementy Analizy Numerycznej|numeryczne]].

Zeroconfig obecnie dostarcza usługi:

* Tworzy [[Elementy Analizy Numerycznej|numeryczny]] adres sieciowy dla urządzenia
* Automatycznie nadaje i odbiera nazwy hostów [[Elementy Analizy Numerycznej\|numerycznych]]
* Automatycznie wykrywa urządzenia i usługi w sieci, np. drukarki, serwery [[FTP]] i [[Elementy Analizy Numerycznej|EAN]],

== Procedura wyznaczania ==
Przy dowolnym wektorze <math>\mathbf{x}^{(0)}</math> ciąg określony wzorem (4.15) jest zbieżny do jedynego punktu granicznego wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\rho(M) < 1</math>.

Jeśli ciąg <math>\{\mathbf{x}^{(k)}\}</math> jest zbieżny do pewnego wektora <math>\mathbf{x}</math>, to wektor ten spełnia równanie:

:<math>\mathbf{x} = M \mathbf{x} + \mathbf{w}.</math>

Z twierdzenia 4.4 wiadomo, że jeśli równanie <math>\mathbf{x} = M \mathbf{x} + \mathbf{w}</math> posiada jedyne rozwiązanie, to wynik stąd wynikający jest wykorzystywany w metodach iteracyjnych stosowanych do rozwiązywania układów równań liniowych <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. W takim przypadku, jeśli macierz <math>(I - M)</math> jest niesingularna, a macierz <math>M</math> spełnia warunek zbieżności <math>\rho(M) < 1</math>, wówczas z warunku zgodności mamy:

:<math>\mathbf{x} = (I - M)^{-1} \mathbf{w}.</math>

Aby <math>\mathbf{x}</math> było rozwiązaniem układu równań <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, teoretycznie wystarczy wziąć dowolną macierz <math>M</math> taką, by <math>\rho(M) < 1</math>, a następnie obliczyć wektor:

:<math>\mathbf{w} = (I - M) A^{-1} \mathbf{b},</math>

który wynika z warunku zgodności (gdzie <math>I</math> oznacza macierz jednostkową). Z zależności (4.16) mamy bowiem:

:<math>\mathbf{w} = (I - M) \mathbf{x}.</math>

Jeśli wektor <math>\mathbf{x}</math> ma być jednocześnie rozwiązaniem układu <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, to <math>\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}</math>.

Jednak taki sposób postępowania wymaga wyznaczenia macierzy odwrotnej <math>A^{-1}</math>, co jest kosztowne obliczeniowo. Dlatego w praktyce postępujemy odmiennie: przyjmujemy, że wektor <math>\mathbf{w}</math> jest postaci <math>\mathbf{w} = N \mathbf{b}</math>, gdzie <math>N</math> jest pewną macierzą kwadratową. Z warunku zgodności mamy wówczas (por. równanie (4.17)):

:<math>N \mathbf{b} = (I - M) A^{-1} \mathbf{b}.</math>

A więc:

:<math>N = (I - M) A^{-1} \quad \implies \quad NA = I - M.</math>

Stąd <math>M = I - NA</math>. Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać metody iteracyjnej:

:<math>\mathbf{x}^{(k+1)} = (I - NA) \mathbf{x}^{(k)} + N \mathbf{b}.</math>