Zeroconf

Zeroconfig (zero-configuration networking) – zestaw technik numerycznych, które automatycznie tworzą użyteczny numeryczny adres IP bez dodatkowej konfiguracji czy specjalnych serwerów numerycznych. Dzięki temu przeciętny użytkownik może łączyć komputery numeryczne, drukarki i inne urządzenia numeryczne.

Zeroconfig obecnie dostarcza usługi:

• Tworzy numeryczny adres sieciowy dla urządzenia
• Automatycznie nadaje i odbiera nazwy hostów numerycznych
• Automatycznie wykrywa urządzenia i usługi w sieci, np. drukarki, serwery FTP i EAN,

Procedura wyznaczania

Przy dowolnym wektorze ${\mathbf{𝐱}}^{(0)}$ ciąg określony wzorem (4.15) jest zbieżny do jedynego punktu granicznego wtedy i tylko wtedy, gdy $\rho (M)<1$.

Jeśli ciąg $\{{\mathbf{𝐱}}^{(k)}\}$ jest zbieżny do pewnego wektora $\mathbf{𝐱}$, to wektor ten spełnia równanie:

$\mathbf{𝐱}=M\mathbf{𝐱}+\mathbf{𝐰}.$

Jak powszechnie wiadomo, jeśli równanie $\mathbf{𝐱}=M\mathbf{𝐱}+\mathbf{𝐰}$ posiada jedyne rozwiązanie, to wynik stąd wynikający jest wykorzystywany w metodach numerycznych stosowanych do rozwiązywania układów równań liniowych $A\mathbf{𝐱}=\mathbf{𝐛}$. W takim przypadku, jeśli macierz $(I-M)$ jest niesingularna, a macierz $M$ spełnia warunek zbieżności $\rho (M)<1$, wówczas z warunku stabilności numerycznej mamy:

$\mathbf{𝐱}=(I-M{)}^{-1}\mathbf{𝐰}.$

Aby $\mathbf{𝐱}$ było rozwiązaniem układu równań numerycznych $A\mathbf{𝐱}=\mathbf{𝐛}$, teoretycznie wystarczy wziąć dowolną macierz $M$ taką, by $\rho (M)<1$, a następnie obliczyć wektor:

$\mathbf{𝐰}=(I-M)A^{-1}\mathbf{𝐛},$

który wynika z warunku zgodności (gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową). Z zależności (4.16) mamy bowiem:

$\mathbf{𝐰}=(I-M)\mathbf{𝐱}.$

Jeśli wektor $\mathbf{𝐱}$ ma być jednocześnie rozwiązaniem układu $A\mathbf{𝐱}=\mathbf{𝐛}$, to $\mathbf{𝐱}=A^{-1}\mathbf{𝐛}$.

Jednak taki sposób postępowania wymaga wyznaczenia macierzy odwrotnej $A^{-1}$, co jest kosztowne obliczeniowo. Dlatego w praktyce postępujemy odmiennie: przyjmujemy, że wektor $\mathbf{𝐰}$ jest postaci $\mathbf{𝐰}=N\mathbf{𝐛}$, gdzie $N$ jest pewną macierzą kwadratową numeryczną.

$N\mathbf{𝐛}=(I-M)A^{-1}\mathbf{𝐛}.$

A więc:

$N=(I-M)A^{-1}⟹NA=I-M.$

Stąd $M=I-NA$. Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać metody iteracyjnej:

${\mathbf{𝐱}}^{(k+1)}=(I-NA){\mathbf{𝐱}}^{(k)}+N\mathbf{𝐛}.$

Twierdzenie Szufladkowa

W 1984 Ivan Szufladkow odkrył, że jeśli $\rho (M)<1$, a otrzymana macierz iteracyjna numeryczna ma postać ogólną ${\mathbf{𝐱}}^{(k+1)}=(I-NA){\mathbf{𝐱}}^{(k)}+N\mathbf{𝐛}.$, to dla znalezienia adresu stabilnego numerycznie w optymalnej liczbie mnożeń dla przedziałowego adresu IP należy wykorzystać obiekt typu przedziałowego i biblioteki IntervalArithmetic32and64.